(正多边形和圆的半径怎么求)(正多边形和圆的ppt)

说起π，大家都会会心一笑，这个字母太有意思了，简直就是数的精灵，我们小时候还都学过茅以升背圆周率的故事，一首“山巅一寺一壶酒，”的儿歌也告诉我们如何背诵π，为了衬托高斯的神奇，人们居然说他可以倒背圆周率。

最早给出圆周率的近似值的应该是古埃及人。建于公元前2500年左右的胡夫金字塔的周长和高的比值就是2倍圆周率，当然这可能只是个巧合，因为我们知道圆的周长和直径的比值就是2倍圆周率，而金字塔底面是正方形，这就意味着古埃及人已经解决了化圆为方的几何难题。

这虽然可能是个巧合，但埃及人还是在圆周率的计算上拔得了头筹，古埃及的文物莱因德数学纸草书上就记载了圆周率等于分数16/9的平方，大约是3.1605，同时期的一块巴比伦石匾也有圆周率等于25/8的记载，晚了一千年的古印度《百道梵书》上则说圆周率等于339/108，大约是3.139。

可以看出来，随着时间的推移，圆周率的值越来越准确，可是这一规律被中国人打破了，在公元前2世纪成书的《周髀算经》中说“径一而周三”，这就是说圆周率等于三，看起来在数学上我们确实在四大文明古国中是垫底的。

不过这些圆周率的值应该都是测量无数个圆的周长和直径后才知道的，想一想那时候简陋的测量手段吧，能有这么精确确实很不容易，不过老是这么量下去也不是一回事，总得照顾更好的办法。

阿基米德就接过了这个任务。

阿基米德用的方法是内切和外接圆的正多边形，很容易看出来，内切正多边形的周长肯定是小于圆周长，内切正多边形周长和圆的直径的比值就是圆周率的下限，同理，外接正多边形和圆的直径的比值就是圆周率的上限。

阿基米德先用正六边形，他得出来的圆周率下限是3上限是4，这肯定不是阿基米德要的结果，那也没关系，直接增加正多边形的边数就可以了，增加到正96边形时，得到了上限是223/71下限是22/7，取平均值就是3.141851。

阿基米德的圆周率不仅仅是更加精确，关键是他不是量出来的，他是算出来的，对于阿基米德来说算一下正多边形的周长那根本就不是事儿，这就开启了计算数学的先河。

阿基米德用的是周长来计算的，刘徽则要用面积来计算圆周率，这就是割圆术。

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这是刘徽对割圆术的描述，看重点呀，“以至于不可割”，这是什么？这就是极限呀，极限再发展下去是什么？就是微积分啊，就是说刘徽有了最早的微积分思想。

刘徽割圆术的方法和阿基米德差不多，不过只有一半，刘徽只用内接正多边形，而且刘徽用的是正多边形的面积，刘徽用到了3072边形，把圆周率算到了3.1416。

祖冲之用刘徽的方法又把圆周率推进了一位，计算出圆周率在3.1415和3.1416之间，这个记录保持了八百年，为了纪念祖冲之的伟大贡献，在我们国家圆周率又叫做祖率。

祖冲之的记录直到15世纪初才由阿拉伯数学家卡西打破，他把圆周率算到了小数点后17位，不过他的记录很快就被打破了，德国数学家鲁道夫在1596年算到了小数点后20位，但鲁道夫并没有满足，投入了毕生精力去计算圆周率，在1610年算到了小数点后35位，他用了多少边的正多边形呢，是67108864正多边形，这个数有点太大了，也怪不得他用一辈子去计算，为了纪念他这种无畏的精神，因此在德国圆周率也被称为鲁道夫率。

算到这个程度，基本上已经把阿基米德的周长算法和刘徽的割圆术用到极致了，要想算出更精确的数值必须得找点新方法了。

这个新方法是韦达首先提出来的，韦达就是提出二次方程根的韦达定理那个韦达，不要韦达只有韦达定理，他对数学最重要的贡献是代数符号，我们现在方程的写法包括未知数为xy都来自于韦达，他还提出来了俄罗斯套娃一般的圆周率计算公式。

看看，像不像俄罗斯套娃。

还是看一下证明过程吧。

证明过程主要是应用了三角函数的倍角公式，就是这个sin2x=2sinxcosx，换下写法就是

当然了还可以继续用倍角公式分成x/4，x/4也可以分成x/8，就变成了这样：

要是到第n项呢，就成了这样了

然后再方程两边都除以x，就变成这样了

下面对n取极限，就是=1，那么式子就成了

现在已经很清楚了吧，还没有清楚呀，那就令x=π/2

左边就变成了2/π，因为sinπ/2=1呀。

然后再用余弦公式把

继续写下去一直到n，就得到了韦达的公式。

不过有一点需要注意，在推导过程中我们用到了极限，而极限是牛顿和莱布尼茨创造的，韦达去世的时候，他们俩都还有出生，韦达绝对不会穿越到未来学会这种方法的，那么韦达用什么方法推导出来的呢？那谁知道呀，说不定他真有一种巧妙的方法。

有了这种俄罗斯套娃般的方法，理论上就可以无限次的计算下去，只要生命足够长，就可以推导到无数位，不过生命没有那么长，这种套娃的方法虽好，还是容易出问题，首先这是乘法，每一项都相关，要是一项错了大家都跟着错，另外涉及到了根号二，这是个无理数，要是取近似值的话，这从一开始就有点不准，而且就算算得准，也要到17重平方根才能达到九位精度，看来还得想办法。

和乘法相比，加法就好多了，觉得精度够了，后面的加法就可以舍去不算了，反正也不影响前面的，可什么样的加法才能满足计算π这种无理数呢？当然是级数。

级数其实也是早就有了，比如庄子所说的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”就可以表示为一个无穷级数，不过对级数的系统研究，还是得等牛顿爵爷出世。

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1869年，爵爷写出了《无限多项方程的分析学》，这就是最早的级数论文，随后他的老冤家莱布尼茨也独立得出了相同的结论，莱布尼茨这一辈子都是在爵爷屁股后面傻追，只要爵爷得出什么结论，他肯定立刻得出，这就是永远落后一步，不过对于用级数对圆周率的求解莱布尼茨却是抢先了一步。

这就是莱布尼茨的圆周率求解公式，看起来是不是清爽多了，关键是计算简单呀，就是小学没毕业也会算呀，可是这个公式有一个致命的缺点，就是级数收敛太慢了，要计算到300项才精确到了一位小数，这要是算到九位十位精度，估计也得半辈子。

不过莱布尼茨很高兴，他终于超过牛顿一次了，可莱布尼茨的命还是这么苦，虽然牛顿没有说话，但这个级数并不是他第一个发现的，而是英国数学家格雷戈里先发现的，可怜的莱布尼茨又栽到了英国人手里，后来牛顿爵爷在搜集莱布尼茨“剽窃”微积分成果罪证的时候，又把这笔账翻了出来，说莱布尼茨“剽窃”别人成果已经是惯犯了，连个简单的级数都“剽窃”，何况复杂的微积分呢，这当然都是爵爷的一面之词，其实莱布尼茨是独立发现的，这个级数也被叫做格雷戈里—莱布尼茨级数，莱布尼茨又排在了后面。

见莱布尼茨都知道怎么求圆周率了，爵爷当然不开心，立刻就整出来了一个。

别看看起来模样不怎么样，不如莱布尼茨的长相秀气，算起来也复杂了许多，关键是好用呀，收敛速度贼快，仅三项就能达到3.14，九项精度就能到八位，这就叫碾压呀。

欧拉为自己的师爷感到不平，（莱布尼茨的学生是约翰.伯努利，约翰.伯努利是欧拉的老师，欧拉绝对是莱布尼茨的嫡传徒孙），可是对手是牛顿呀，对于牛顿这种神一般的男人，像老师和师爷一样打嘴炮是没用的，最好的办法就是做的比他还好。