(巴塞尔问题著名公式)(巴塞尔级问题有什么意义)

巴塞尔问题

巴塞尔问题最先由欧拉证明，这里记录一下此证明过程

证明过程用到了正弦函数的泰勒展开，把Sin(x)泰勒展开得到：

正弦函数的泰勒展开

为了凑出偶数次项，两端同时除以x得到：

凑出偶数次项

观察一下上面左边函数sin(x)/x的图像

注意零点的位置

零点是周期性的，而且都在圆周率PI的整数倍位置，零除外，那么我们知道了函数的零点，自然可以构造函数的因式分解

根据函数的根做因式分解

可以看出来，sin(x)/x的任意零点位置，右边的乘式必有一个因子为零，从而整个积的结果为零，利用平方差公式化简可得后面的结果，如果展开，我们提取二次项系数，此系数和泰勒展开的二次项系数相等，于是有：

二次项系数

两边同时乘以圆周率的平方，符号消除，得到结论

巴塞尔问题